初三数学专题训练――开放型试题
班级：_________ 姓名：_________ 得分：_________
一、填空题(1~7小题每小题4分，8~9小题每小题6分，共40分)
1.(南昌市)两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是______.
2.(安徽省)已知x2－ax－24在整数范围内可以分解因式，则整数a的值是______(只需填一个).
3.(甘肃省)已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1.点P的坐标是______(写出符合条件的一个点即可).
4.(黑龙江省)某一次函数的图象经过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x的增大而减小.请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______.
5.(北京东城区)有一个二次函数的图象三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4;
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：______
6.(2002年盐城市)在四边形ABCD中，若分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD.现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是______.(只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况).
7.(2002年浙江金华)如图1，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请根据图中所给出的已知条件(不再标注或使用其他字母，不再添加任何辅助线)，写出两个你认为正确的结论： .
图1 图2 图3
8.(2002年湖北荆门)如图2，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AM=AN；④AD⊥DC，AE⊥BE.以其中三个论断作为题设，填入下面的“已知”栏，一个论断作为结论，填入下面的“求证”栏，使之组成一个真命题，并写出证明过程.
已知：如图，在△ABE和△ACD中， .
求证： .
9.(2001年徐州)如图3，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)；B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换再将△OA3B3变成△OA4B4，则A4的坐标是______，B4的坐标是______.
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是______，Bn的坐标是______.
二、选择题(每小题5分，共10分)
10.(陕西省)
如图4，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作不同位置的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这种三角形最多可以画出( )
图4
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
11.(1998年陕西省理科实验班招生试题)△ABC中，有一内角为36°，过顶点A的直线AD将△ABC分成两个等腰三角形.则满足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)△ABC的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
三、解答题(12~17题每小题7分，18题8分，共50分)
12.(常州市)阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：
(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；(2)根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出 A、B两点的坐标； 图5
(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围.
13.(黄冈市)在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图6).现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切.请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径).
图6
14.(2002年江苏省泰州市中考题)以给定的图形“，○○、△△”(两条平行线段、两个圆、两个三角形)为构件，构思独特且有意义的图形.举例：如图7是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗？请画出与之不同的一个图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词.
解说词：两盒电灯
图7
15.(1)如图8，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1使△A1B1C2∽△ABC(相似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.
(2)(2002年吉林省)如图9，图10所示，正方形网格中约每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
①使三角形三边长分别为3、2、 (在图11中画一个即可).
②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图12中画一个即可).
图8 图9 图10 图11 图12
16.(江西省)如图13，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个(不要求证明).
图13
17.A、B、C、D为四个景点，某剧组因为拍摄画面的需要欲确定摄像机P的位置以使得△PAB、△PCD、△PAD、△PBC同时成为等腰三角形，问这样的点P有几个？作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程).
图14
18.某公园计划做一个形状是如图15的圆形喷水池，后有人建议改为图16的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案后回答下列问题：
(1)两种方案哪一种需要用的材料多？
(2)若将图20中的三个小圆改为n个小圆，你又会得到什么样的结果？
图15 图16
专题训练3 开放型试题参考答案
一、1. +1和－1等 2.2等 3.(－2，3)等 4.y=－x+1
5.y=±(x2－x－3) y=±(x2－x+1) 6.①③或①④或②④
7.∠A=∠ADO=∠CDB OA=CB=OD CD2=CB·CA△CDB∽△CAD……从以上结论中任选两个
8.由题目要求可构成三个真命题：②③④①，①②④③，①③④②；
9.(1)(16，3)，(32，0) (2)(2n，3)，(2n+1，0)
二、10.B 11.D
三、12.张老师从家里出发，乘汽车去学校，汽车的速度为每小时25 km，经过2h到达学校.到校后由于家中有事，立即骑自行车返回，再经过5h到家.
(2)x轴表示运动时间，单位是小时，y轴表示运动的路程，单位是千米.A(2，50),B(7，0)
(3)设AB的解析式为y=kx+b，则解之，得
∴y=－10x+70(2≤x≤7).
13.可以设计如下四种方案：
14.
解说词：外星人
15.(1)由题设知，AB∶BC∶CA=∶2∶=1∶∶=2∶2∶2=……故可在图中作A1B1，B1C1=，C1A1=，或A1B1=2，B1C1=2，C1A1=2或A1B1=，B1C1=，A1C1=5……，
(2)本题由计算决定画图，画法较多，图略.
16.(1)连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD.又∵F为CD中点，∴AF⊥CD.
(2)①BE∥CD ②AF⊥BE ③△ACF≌△ADF ④∠BCF=∠EDF.⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形.
17.作法：略.这样的P 点共有九个，其坐标分别为(0，0)，(0，－1)，(0，－+1)，(0，1+)，(0，－1－)，(－1，0)，(－+1，0)，(1+，0)，(－1－，0).
18.题中要求比较两种方案中圆周长的大小，虽然没有给出几个圆直径的具体值，似乎难以比较，但是可以用几个不同字母表示其直径和周长，很容易推断它们相等的结论.当三个小圆改为n个小圆后只是小圆的个数和直径的大小发生变化，但n个小圆的直径之和不变.
