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发布时间:2011-7-29 22:53:01 浏览次数:6532 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 
1.两平面向量ab夹角:
  a,b是两非零向量,过点O 则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量a与b的夹
角.很显然,当且仅当两非零向量ab同方向时,θ=0°;当且仅当 ab反方向时,θ=180°,当θ=
90°,称ab垂直,记作ab,需要说明的是:教课书仅对两非零向量定义了夹角这概念,并没有象定义两
向量平行时那样,最后规定0向量与任何非零向量都平行,因此0向量与其它任何非零向量之间是不谈夹角这
一问题的,教课书中也没有规定0向量与非零向量都垂直.
  2.两平面向量ab的数量积:
  a、b是两非零向量,它们的夹角为θ,则数量|a|·|b| cosθ叫做向量ab的数量积(或内积),记作
a·b,即a·b=|a|·|b| cosθ.因此当ab时,θ=90°,cosθ=0这时a·b=0特别规定,零向量与任一向
量的数量积均为0.
  综上所述,a·b=0是abab中至少一个为0的充要条件.
  两向量ab的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),
也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时).
  3.一个向量在另一向量方向上的投影:
  设θ是向量ab夹角,则|a|cosθ,称为向量ab的方向上的投影;而|b| cosθ,称为向量ba的方向
上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数,不是向量,0°≤θ<90°时,它为正值;当
θ=90°时,它为0;当90°<θ≤180°时,它为负值.特别地,当θ=0°,它就等于|b|;而当θ=180°
时,它等于-|b|.我们可以将向量ab的数量积看成是向量a的|a|与ba的方向上投影|b| cosθ的乘积.
  4.向量数量积的性质:
  设ab是两非零向量,e是单位向量,θae的夹角,于是我们有下列数量积的性质:
  (1)e·a=a·e=|a| cosθ
  (2)ab a·b=0
  (3)ab同向 a·b=|a|·|b|;
  a, b反向 a·b=-|a||b|;特别地a·a= a2 =| a2|或|a|=
  (4)
  (5)
  5.向量数量积的运算律
  (1)a·b=b·a(交换律)
  (2)(λa)·b=λa·b)=a·(λb)(λR
  (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
学习重点:
  1.两个向量的数量积是一个数量(不是向量),它的大小是它们的长度和它们夹角θ可以是锐角,也可
以是直角或钝角,并且当两向量同向时,θ=0,反向时θ=π.因此两向量的数量积a·b
  (1)当ab中至少有一个为零向量时,它的值为0;
  (2)当ab均非0时,
  (i)当0≤θ 时,它的值为正;
  (ii)当θ= (即ab)时,它的值为0;
  (iii)当 θπ时,它的值为负.
  综上所述,a·b=0的充要条件是:“abab中至少一个为0;”而不是:ab中至少一个为0.
  2.要掌握好向量数量的三个运算律:
  (i)交换律:a·b= b·a
  (ii)结合律:(λa)·b =λ(a·b),λ∈R
  (iii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c
  在进行向量的加、减运算,实数与向量的积及向量的数量积混合运算时,尤其应灵活运用上述运算律.
需要特别指出的是:向量的数量积不满足:(a·b)·c=a·(b·c)……①这种形式的结合律.
  ∵a·b是一个数量,∴(a·b·c是实数(a·b)与向量c的积,是一个与c共线的向量;而对于a·(b·c)而言
由于(b·c)是一数量,故a·(b·c)是实数(b·c)与向量a的积是一个与a共线的向量.因此①式一般是不成
立的,除非|a|=|c|且ab的夹角与bc的夹角相等(或互补)时,它才成立.
例题分析:
第一阶梯
  例1.已知abc是三个向量,试判断下列各命题的真假.
  (1)若a·b=a·ca≠0,则b=c
  (2)若a·b=0;则a=0或b=0
  (3)若ab,则a·b=0
  (4)向量ab的方向上的投影是一模等于|a| cosθθab的夹角)方向与b相同或相反的一个向量.
  分析:对以上四个命题进行真假判断时,其理论依据是向量的数量积:a·b=|a|·|b| cosθθab的夹
角).利用向量数量积的定义可以对以上四个命题一一作出正确的判定.
  解:(1)∵a·b=|a|·|b| cosθa·c=|a|·|c|cosθ´(其中θθ´分别是ab的夹角及ac的夹角),因此由a·b=a·c可得到:|b| cosθ=|c| cosθ´,并不能得到|b|=|c|及bc同方向,即推不出b=c,所以(1)是假命
  (2) ∵a·b=|a|·|b| cosθ=0可得:|a|=0或|b|=0或cosθ=0.因此  a·b=0 a=0或b=0或a⊥b.故命题
(2)也是假命题.
  (3)当ab时,ab的夹角θ=90°. ∴a·b=|a|·|b|·cosθ90°=0,故命题(3)是真命题.
  (4)向量ab上的投影|a| cosθθab夹角)只是一个数量,它虽然有正负,但没有方向,故不是向
量,所以命题(4)也是假命题.
  反思回顾:
  对于命题(1),我们可以将它改进成:a·b=a·cb=c的必要不充分条件.
  对于命题(2)与(3)我们将它们综合起来的改进成:a·b=0的充要条件是a=0或b=0或ab
  对于命题(4)而言,无论是ab上的投影,还是ba上的投影都不是向量.请在这里考虑命题:若ab
的方向上的投影与ba的方向上的投影相等,则|a|=|b|是否正确?为什么?
  例2.已知abc是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为(  )
  (1)|a·b|=|a|·|b| ab
  (2)ab反向 a·b=-|a|·|b|
  (3)ab |a+b|=|a-b|
  (4)|a|=|b| |a·c|=|b·c|
    A.1     B.2     C.3      D.4
  分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一仍是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行
四边形法则.
  解:(1)∵a·b=|a|·|b| cosθ,∴ 由|a·b|=|a|·|b|及ab为非零向量可得:| cosθ|=1,∴ θ=0或π 
ab且以上各步均可逆,故命题(1)是真命题.
  (2)若ab反向,则ab的夹角为π,∴ a·b=|a|·|b|cosπ=-|a|·|b|且以上各步增多可逆,故命
题(2)是真命题.
  (3)当ab时,将向量ab的起点确定在同一点,则以向量ab为邻边作平行四边形,则该平行四边形
必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以ab为邻边的
四边形为矩形,所以有ab,因此命题(3)是真命题.
  (4)当|a|=|b|但ac的夹角和bc的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也
推不出|a|=|b|、故命题(4)是假命题.
  综上所述,在四个命题中,前3个是真命题,而第四个是假命题,应选择(C
  反思回顾:(1)两向量同向时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直
时,夹角为90°,因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
  (2)对于命题(4)我们可以改进为:|a|=|b|是|a·c|=|b·c|的既不是充分也不必要条件.
  例3. 已知|a| = 5,|b| = 8,ab的夹角为60°,求 |a + b |
  解:ab = |a||b|cos60° = 5×8× = 20     ∴|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2ab  
=129     ∴|a + b | =
第二阶梯
  例1. 已知ab是两非零向量,若a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,试求ab的夹角.
  分析:要求ab的夹角θ,就需利用公式a·b=|a|·|b| cosθ.因此我们应利用题设中垂直的条件,用
|a|、|b|等来表示a·b. 这样将它代入公式即可求出cosθ的值进而可求得θ
  解:由条件知:(a+3b)·(7a-5b)=0   (a-4b)·(7a-2b)=0
       ∴7a2+16a·b-15b2=0             ①
         7a2-30a·b+8b2=0              ②
  由①-②得: 46a2·b-23b2=0, ∴b2=2a·b,将它代入②式得:a2=2a·b    ∴a2 =b2,∴|a| =|b|
  ∵  由b2=2a·b可得:|b|2=2|a|·|b| cosθ(其中θab的夹角)   ∴
  ∴ θ=60°.即所求的向量ab的夹角为60°.
  反思回顾:向量的数量积满足:交换律a·b=b·a;对加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;实数与
两向量数量积的乘积;λa·b)=(λa)·b=aλb),正因为向量的数量积满足上述三个运算律,我
们可以在上述解题过程. 进行脱括运算,由第一个向量方程组得到第二个向量方程组.
  例2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
  如图,已知四边形ABCD为平行四边形.
  求证: AC2 + BD2= AB2+ BC2+ CD2+ DA2
  证明:
  则
  于是
 
  ∴
  反思回顾:
  (1)
  (2)(a+b2 =(a+b)·(a+b)=a·(a+b)+b·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b= a2+2a·b+b2
因此上述论证过程中的运算结果,是根据向量是数量积的运算律计算得到的.
  (3)(a+b2= a2+2a·b+ b2 =|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2≤|a|2+2|a||b|+|b|2=(|a|+|b|)2
  例3.判断下列各命题的真假并说明理由.
  (1)在△ABC中, 则△ABC是锐角三角形
  (2)在△ABC中, 则△ABC是锐角三角形
  (3)△ABC为直角三角形的充要条件为
  (4)△ABC为斜三角形必要不充分条件是
  分析:根据向量数量积的定义可知:①若△ABC的顶角A为钝角,则 的数量积小于0,即
反之亦然,②若△ABC的顶角A为直角,则 反之亦然,③若△ABC的顶角A为锐
角,则 反之亦然.利用上述三结论可以对这里的四个命题进行真假判定.
  :(1)  ∵         ∴
  ∴∠B是锐角,虽然∠A, ∠C均可能为锐角,但也可能有一个为钝角(或直角),所以推不出△ABC锐角
三角形.
  (2) ∵  ∴    ∴∠B是钝角,∴△ABC是钝角三角形,
        故命题(2)是真命题.
  (3)△ABC是直角三角形,则直角可以是A,也可以是BC,当AC为直角时,B一定为锐角,这时,
故命题(3)是假命题.
  (4)当△ABC为斜三角形时,它的三内角均不为直角;因此必有:
但是,由 只能得到
∴  B不是直角,但是AC两个角中,可以有一个为直角,所以由 推不出△ABC为斜三角形,
所以 是△ABC为斜三角形的必要不充分条件,故命题(4)是真命题.
  反思回顾:在对以上各命题进行真假判定时,我们一定要清楚的认识到, △ABC有一内角为钝角,则该
三角形为钝角三角形;但是△ABC有一内角为锐角,则该三角形不一定是锐角三角形,当且仅当三内角均为锐
角时, △ABC才是锐角三角形.
第三阶梯
  例1.如图,ADBECF是△ABC的三条高,
       求证:ADBECF相交于一点。
  证:设BECF交于一点H,  = a, = b, = h,
    则 = h - a , = h - b , = b - a
    ∵ ^ ^
    ∴
    ∴ ^   又∵点DAH的延长线上,∴ADBECF相交于一点
  例2.如图,设四边形P1 P2 P3 P4是圆O的内接正方形,P是圆O上的任意点.
      求证: 为定值.
  分析:由于要证: 为定值,所以需将
i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差),才能使
问题得证,而这里的半径 等可供我们选择.   
  证明:由于
    ∴  有
    ⊙O的半径为r,则
    ∴ (定值).
  反思回顾:其实本例可以推广,一般地,我们有:正n边形外接圆上任意一点与各顶点的距离的平方和为
定值.它的证明与本例的证明完全类似,并且要用到正n边形,P1P2……Pn的中心O为起点,各顶点为终点
的向量之和为0.上面所说的定值为2nr2r是外接圆半径).
  例3.设AC□ABCD的长对角线,从CABBD的垂线CECF,垂足分别为EF,如图,试用向量方法
求证:AB·AE+AD·AF=AC2
  分析:由向量的数量积的定义可知:两向量ab的数量积
a·b=|a|b|cosθ(其中θab的夹角),它可以看成|a|与|b|
在a的方向上的投影|b|cosθ之积,因此要证明的等式可转化成:
而对该等式我们采用向量方法不难得证:
  证明:RtABC中,
    在RtAFC中,
    ∴| |·| |=| |·| |·cos∠BAC= ·
    | |·| |=| |·| |cos∠DAC= ·
    ∴| |·| |+| |·| |= · + · =( + )·
    又∵  在□ABCD中, + =
    ∴  原等式左边=( + )· = · =| |2=右边
课后检测
  1.△ABC为锐角三角形的充要条件是(  D  )
    A.( · )·( · )>0    
    B.( · )·( · )>0
    C.( · )·( · )>0  
    D.( · )·( · )·( · )>0
  2.如图,EFGH分别是四边形ABCD的所在边的中点,若( + )·( + )=0,则
四边形EFGH是(  B  )
    A.平行四边形,但不是矩形也不是菱形
    B.矩形
    C.菱形
    D.正方形
  3.ab是两非零向量,λ是ab的方向上的投影,而uba的方向上的
投影,若ab的夹角为钝角,则(  C  )
    A.λ=u>0      B.λ=u<0     C.λ,u∈R-          D.λ,u∈R+
  4.若|a|=|b|=|a-b|=rr>0),则ab的夹角为(  60°  );a·b=(    )
  5.已知a,满足|a|=1,|b|=1且(a-b2=3,则ab的夹角θ=(  120°  )
  6.试证明:(a+b)·(a-b)=a2+ b2
  证明:a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b=a·a+b·a-a·b-b·b=a2-b2
  7ABCD是四边形ABCD的四个顶点,试证明:四边形ABCD为矩形的充要条件是: + =
0 · =0.
  证明: + =0得: =
    ∴四边形ABCD的一组对边ABDC平行并且相等.
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    又∵ · =0,∴ ,即□ABCD的一内角∠ABC=90°,
    ∴ 四边形ABCD是矩形
  8.如图,已知ABCD是平面上的任意四点,试证:·+·+· =0.
  证明: · + · + ·
    = · + · +( + )·
    = · + · + · + ·
    = + )+ · - ·
    = · + -
    = · + ·( +
    = · - ·
    =0
 
 
 
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