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发布时间:2011-3-31 15:37:07 浏览次数:8058 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 
例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,如图,求正四棱锥的侧面积和表面积。(单位:
      分析:利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解,然后代入公式。
       解:正棱锥的高PO、斜高PE,底面边心距OE组成Rt△POE。
       ∵OE=2cm,∠OPE=30°,
      
      
       点评:正四棱锥中有四个Rt△,应引起重视,即原题图中Rt△POB、Rt△POE、Rt△PBE、Rt△OBE。
 
  例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m、n,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为(    )
       A.             B.              C.             D.
       分析:利用直角梯形,转化为直角三角形,结合面积公式求解。
       解:如图所示,设分别为棱台上、下底面中心,、M分别为的中点,连结,则M1M为斜高。
       过M1作M1H⊥OM于H点,则M1H=OO1
      
       由已知得
      
       在Rt△M1HM中,MH=OM-O1M1
             
              ∴应选A。
       点评:在正四棱台中有三个直角梯形应注意,一个是O1OMM1,一个是O1OBB1,一个是B1BMM1,它们都可以转化成直角三角形,利用直角三角形求解。
 
  例3. 如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为多少?
       分析:当三棱柱的侧面AA1B1B水平放置时,液体部分是四棱柱,其高为原三棱柱的高,侧棱AA1的长为8。
       解:设AC、BC边的中点分别为E、F,设当底面ABC水平放置时,液面高度为h。
       由条件及两种状态下液体体积相等可得,∴h=6。
       点评:等积法是立体几何中的常用方法,在柱、锥中经常通过灵活转换底面,顶点来求高或点到面的距离,应熟练掌握。
 
  例4. (1)用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面,要求铁桶的上底半径是24cm,下底半径为16cm,母线长为48cm,则矩形铁皮的长边长最少是多少?
(2)一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心角∠AOB=60°,现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面),则OC应取多少?
分析:圆台侧面展开图为一扇环,扇环两弧长分别为圆台上、下底面圆的周长。
解:(1)如图(1),设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α,OA=x。
由相似三角形知识得
为等边三角形。
,即矩形铁皮的长边长最少为144cm。
(2)如图(2),∵∠AOB=60°=
∴圆O1周长,即
在Rt△O1MO中,∠,∴OO1=2O1M=24
 
 
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