例1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积和表面积。（单位：）

      分析：利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。

       解：正棱锥的高PO、斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE。

       ∵OE=2cm，∠OPE=30°，

      

      

       点评：正四棱锥中有四个Rt△，应引起重视，即原题图中Rt△POB、Rt△POE、Rt△PBE、Rt△OBE。

 

  例2. 一个正四棱台两底面边长分别为m、n，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（    ）

       A.             B.              C.             D.

       分析：利用直角梯形，转化为直角三角形，结合面积公式求解。

       解：如图所示，设分别为棱台上、下底面中心，、M分别为的中点，连结，则M₁M为斜高。

       过M₁作M₁H⊥OM于H点，则M₁H=OO₁

      

       由已知得

      

       在Rt△M₁HM中，MH=OM－O₁M₁

              ∴应选A。

       点评：在正四棱台中有三个直角梯形应注意，一个是O₁OMM₁，一个是O₁OBB₁，一个是B₁BMM₁，它们都可以转化成直角三角形，利用直角三角形求解。

 

  例3. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8，若侧面AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A₁C₁、B₁C₁的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

       分析：当三棱柱的侧面AA₁B₁B水平放置时，液体部分是四棱柱，其高为原三棱柱的高，侧棱AA₁的长为8。

       解：设AC、BC边的中点分别为E、F，设当底面ABC水平放置时，液面高度为h。

       由条件及两种状态下液体体积相等可得，∴h=6。

       点评：等积法是立体几何中的常用方法，在柱、锥中经常通过灵活转换底面，顶点来求高或点到面的距离，应熟练掌握。

 

  例4. （1）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径为16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？

（2）一扇形铁皮AOB，半径OA=72cm，圆心角∠AOB=60°，现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面，并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台下底面大于上底面），则OC应取多少？

分析：圆台侧面展开图为一扇环，扇环两弧长分别为圆台上、下底面圆的周长。

解：（1）如图（1），设圆台的侧面展开图的圆心角为∠α，OA=x。

由相似三角形知识得

则，为等边三角形。

，即矩形铁皮的长边长最少为144cm。

（2）如图（2），∵∠AOB=60°=

∴圆O₁周长，即

在Rt△O₁MO中，∠，∴OO₁=2O₁M=24