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发布时间:2011-3-23 17:01:50 浏览次数:4943 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 
例1. (直接法求曲线方程)
△ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是,边BC上的高为b,边BC沿一条定直线移动,求△ABC外心的轨迹方程。
解析:以BC所在定直线为x轴,过A作x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,则A点的坐标为(0,b),设△ABC的外心为M(x,y)。
作MN⊥BC于N,则MN是BC的垂直平分线。
∵|BC|=2a,∴|BN|=a,|MN|=|y|,
又M是△ABC的外心,
∴M
化简,得所求轨迹方程为
点评:(1)本例是一道典型的用直接法求曲线方程的题目,难度中等,解本题的关键是建立适当的直角坐标系,充分利用三角形外心的性质。
(2)本例的易错处是利用列方程,而化简后会发现得到的是一个恒等式,原因是在求的长度时已利用了|BM|=|CM|这个等量关系。
(3)对于本例,在建立直角坐标系时,也可把BC边所在定直线作为y轴,过A点与定直线垂直的直线作为x轴,此时方程将有所变化。
  例2. (代入法求曲线方程)
已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线上运动,求△ABC重心的轨迹方程。
解析:设G(x,y)为所求轨迹上任一点,顶点C的坐标为
则由重心坐标公式,得:
因为顶点C在曲线上,所以有
整理,得:,即为所求轨迹方程。
点评:(1)本例是求轨迹方程中的常见题型,难度适中,本题解法称为代入法(或相关点法),此法适用于已知一动点的轨迹方程,求另一动点轨迹方程的问题。
(2)应注意的是,本例中曲线上没有与A,B共线的点,因此,整理就得到轨迹方程;若曲线方程为,则应去掉与A,B共线时所对应的重心坐标。
 
  例3. (参数法求曲线方程)
抛物线的焦点为F,过点(0,-1)作直线交抛物线于不同两点A,B,以AF,BF为邻边作平行四边形FARB,求顶点R的轨迹方程。
解析:设直线:AB:y=kx-1,A(),B(),R(x,y),由题意F(0,1)。
,可得
又AB和RF是平行四边形的对角线,
,消去k得
由于直线和抛物线交于不同两点,
∴△=
∴顶点R的轨迹方程为,且
点评:如果求轨迹的动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,也没有相关信息可用时,可先考虑将x,y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。注意参数的取值范围对方程中的x和y范围的影响。
 
  例4. 设函数分别在处取得极小值、极大值,平面上点A、B的坐标分别为。该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点。求:
(1)点A、B的坐标;
(2)动点Q的轨迹方程。
解析:(1)对求导得
令y′=解得
时,
时,
时,
所以处取得极小值0,在处取得极大值4,即点A、B的坐标分别为(-1,0)、(1,4)。
(2)解法一:设P(x,y),则
故由
所以P的轨迹是以C(0,2)为圆心,半径为3的圆。
∵点Q是点P关于直线的对称点。
∴动点Q的轨迹是一个以为圆心,半径为3的圆,其中是点C(0,2)关于直线的对称点,即直线的中点,且与垂直,于是有
故动点Q的轨迹方程为
解法二:设P(x,y),则
故由
。(*)
设点Q的坐标为Q(u,v),
∵Q、P关于直线对称,
与直线l垂直,于是有
。(1)
因为PQ的中点在l上,所以有
。(2)
由(1)、(2)可解得
代入方程(*)得
化简得:
故动点Q的轨迹方程为
 
 
 
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