1.
证明：∵
x＞
y＞0，
xy＝1 ∴
2.
解：（1）∵
x＞0 ∴2
x2＞0，
＞0,∴
y＝2
x2＋
＝2
x2＋
＋
≥3·
当且仅当2
x2＝
，即
x＝
时等号成立。
故当
x＝
时，
y有最小值3·
。
（2）
，
当且仅当
即
x＝±
时，等号成立。
故当
x＝±
时，
y有最小值3
。
（3）∵0＜
x＜
∴3－2
x＞0
∴
y＝
x2（3－2
x）＝
x·
x·（3－2
x）≤（
）
3＝1
当且仅当x＝3－2x即x＝1时，等号成立。
（4）∵0＜x＜1 ∴1－x2＞0
∵
y2＝
x2（1－
x2）
2＝
·2
x2（1－
x2）（1－
x2）≤
（
）
3＝
当且仅当2
x2＝1－
x2即
x＝
时，等号成立，
∴当
x＝
时，
y2有最大值
。
由题意可知：
y＞0,故当
x＝
时，
y有最大值
。
3. 证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1
∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）
∴［（
a＋
b）＋（
b＋
c）＋（
c＋
a）］·（
）
≥3·
×3·
＝９
故
。
4. 分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型（即函数关系式），由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值。
解法一：设
y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：
y＝
，其中
k＞0且
k是比例系数。依题意要使
y最小，只需求
ab的最大值。
由题设得：4b＋2ab＋2a＝60 （a＞0，b＞0）
即a＋2b＋ab＝30 （a＞0，b＞0）
∵
a＋2
b≥2
∴2
＋
ab≤30
当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。
∴当
a＝2
b时有2
＋
ab＝30，即
b2＋2
b－15＝0
解之得：b1＝3，b2＝－５（舍去）∴a＝2b＝６
故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）
∴
a＋2
b＋
ab＝30 （
a＞0，
b＞0）,∴
b＝
（0＜
a＜30）
由题设：
y＝
，其中
k＞0且
k是比例系数，依题只需
ab取最大值。
∴
y＝
＝
≥
∴当且仅当
a＋2＝
时取“＝”号，即
a＝６，
b＝3时
ab有最大值18。
故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
≥2
。
（x＞0）的最小值。
＝2
