1.
证明:∵
x>
y>0,
xy=1 ∴

2.
解:(1)∵
x>0 ∴2
x2>0,

>0,∴
y=2
x2+

=2
x2+

+

≥3·

当且仅当2
x2=

,即
x=

时等号成立。
故当
x=

时,
y有最小值3·

。
(2)

,
当且仅当

即
x=±

时,等号成立。
故当
x=±

时,
y有最小值3

。
(3)∵0<
x<

∴3-2
x>0
∴
y=
x2(3-2
x)=
x·
x·(3-2
x)≤(

)
3=1
当且仅当x=3-2x即x=1时,等号成立。
(4)∵0<x<1 ∴1-x2>0
∵
y2=
x2(1-
x2)
2=

·2
x2(1-
x2)(1-
x2)≤

(

)
3=

当且仅当2
x2=1-
x2即
x=

时,等号成立,
∴当
x=

时,
y2有最大值

。
由题意可知:
y>0,故当
x=

时,
y有最大值

。
3. 证明:∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1
∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a)
∴[(
a+
b)+(
b+
c)+(
c+
a)]·(

)
≥3·

×3·

=9
故

。
4. 分析:应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值。
解法一:设
y为流出的水中杂质的质量分数,根据题意可知:
y=

,其中
k>0且
k是比例系数。依题意要使
y最小,只需求
ab的最大值。
由题设得:4b+2ab+2a=60 (a>0,b>0)
即a+2b+ab=30 (a>0,b>0)
∵
a+2
b≥2

∴2

+
ab≤30
当且仅当a=2b时取“=”号,ab有最大值。
∴当
a=2
b时有2

+
ab=30,即
b2+2
b-15=0
解之得:b1=3,b2=-5(舍去)∴a=2b=6
故当a=6米,b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
解法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,由题意可知:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)
∴
a+2
b+
ab=30 (
a>0,
b>0),∴
b=

(0<
a<30)
由题设:
y=

,其中
k>0且
k是比例系数,依题只需
ab取最大值。
∴
y=

=

≥

∴当且仅当
a+2=

时取“=”号,即
a=6,
b=3时
ab有最大值18。
故当a=6米,b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。