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发布时间:2011-3-3 16:05:18 浏览次数:6994 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 
(一)两条平行线间的距离
1、定义:同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离。
如图1所示,a//b,A是直线上任意一点,,垂足为B,则线段AB的长即是两平行线间的距离。若在直线上任找一点,过,垂足为D,则线段CD的长也是两平行线间的距离。由此可见:         
图1
2、平行线间的距离处处相等。                     
 
(二)命题
1、命题:判断一件事情的语句叫做命题。命题有正确和错误之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题。
2、命题的构成:
命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是命题的已知条件部分,通常“如果”后面接题设部分;结论是由题设推出的事项,通常“那么”后面接结论部分。
3、公理:正确性是人们长期以来在实践中总结出来的,并作为判定其他命题真假的根据的命题叫做公理。
4、定理:正确性是用推理证实的,这种用推理的方法得到的真命题叫做定理。
 
(三)平移
1、平移的定义:在平面内,将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2、平移的两个要素:平移的方向和距离。图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。——整体角度
3、平移的性质:
(1)图形平移前后线段、角、点的关系:——局部角度对应线段平行(或在同一条直线上)且相等;对应角相等;对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(2)平移前后图形的形状和大小的关系:——平移结果图形的形状和大小都没有发生变化,即平移不改变图形的形状和大小。          
研究平移的性质时,从图形的整体特征的变与不变到分解成线段、角,最后再到点。平移只改变图形的位置,不改变图形的形状、大小。
4、平移的方向、距离的确定:
方向为前后对应点射线方向,距离为对应点之间的线段的长度。
5、简单图形的平移作图:
线段、角、三角形的平移是最简单的平移问题,关键条件是平移的方向和距离。在作图过程中,通过确定图形上几个关键点平移后的位置,得到图形平移后的图形,运用“以局部带整体”的平移作图法:
(1)确定图形中的关键点;
(2)将关键点沿指定的方向移动指定的距离;
6、图形平移的作用:
利用基本图形,通过平移,组成更大的图案。
平移变换常常将一个角、一条线段、一个图形平移到适当位置,使分散的条件集中到一个图形上,以方便问题的解决。
 
典型例题
  例1.  把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,指出其题设和结论,并判断命题的真假。
(1)等角的余角相等;
(2)相等的角是对顶角;
(3)两点确定一条直线;
(4)平行于同一条直线的两直线平行。
分析:弄清各命题的题设和结论,再把命题改写成“如果……那么……”的形式,最后利用有关性质判定命题的真假。
解答:(1)如果两个角相等,那么它们的余角也相等。
题设:两个角相等,结论:它们的余角相等。该命题是真命题。
(2)如果两个角相等,那么它们是对顶角。
题设:两个角相等,结论:它们是对顶角。该命题是假命题。
(3)如果过两点画直线,那么只能画出唯一一条直线。
题设:过两点画直线,结论:只能画出唯一一条直线。该命题是真命题。
(4)如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线也平行。
题设:两条直线都平行于同一条直线,结论:这两条直线也平行。该命题是真命题。
说明:命题改写后,要确保句子的叙述清晰、语句通顺,并且不能改变命题的原意。
 
  例2.  如图所示,已知AD//BC,AB//EF,DC//EG,且点和点分别在直线上,平分
(1)求证:线段的长是两直线的距离;
(2)第(1)问是否是命题?若是,是真命题还是假命题?并说明理由;若不是,也请说明理由。
分析:第(1)问,要证线段的长是两直线的距离,只需证明,即证明即可;第(2)问,因为第(1)题既有题设,也有结论,所以第(1)问是命题,若第(1)问的结论是正确的,则是真命题,反之,则是假命题。
解答:(1)∵AB//EF,∴.
,∴. 同理可证.
三点共线,∴.
.
平分
.
.
∵AD//BC,∴
,且.
∴线段的长是两直线的距离.
(2)第(1)题是命题,是真命题。
因为题目中的已知条件是题设,“线段的长是两直线的距离”是结论,所以是命题。而且通过证明,由题设可推出结论,所以是真命题。
 
  例3.  (2006. 海淀)在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示,那么下面平移中正确的是(    )
       A. 先向下移动1格,再向左移动1格;
B. 先向下移动1格,再向左移动2格
       C. 先向下移动2格,再向左移动1格;
D. 先向下移动2格,再向左移动2格
分析:向何处移和移多少是确定图形移动的两个关键因素。本题只要找准平移的方向和距离即可。
解答:选C。
 
例4. 经过平移,△ABC的边AB移到了EF,作出平移后的三角形。
分析:根据平移的特征,我们可以从不同的角度来分析,从而找到作法。
1. 根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行,那么应有EGACFGBC
2. 根据平移后的图形与原来的图形的对应角相等,那么应有∠EFG=∠ABC,∠FEG=∠BAC
3. 根据平移后对应点所连的线段平行且相等,那么连结AE,应有CGAECGAE
解答:
解法1:过点EF分别作EHACFPBC,两射线交于点G,则△EFG即为所求;
解法2:过点E作射线EH,使∠FEH=∠BAC,过点F作射线FP,使∠EFP=∠ABCEHFP交于G,则△EFG即为所求;
解法3:连结AE,过C按射线AE的方向作射线CGAE,取CGAE,连结EGFG,则△EFG即为所求。
说明:确定关键点的对应点是平移作图的要点之一,关键点平移后的位置确定了,就可以得到平移后的整体图形;确定平移的方向和距离是平移作图的要点之二。
 
例5. 如图1,在一个边长不超过的大正方形中,放入三张面积均为25的正方形纸片,这个大正方形被三张纸片盖住部分的面积是45,问大正方形的面积是多少?
         
 图1                          图2 
分析:本题中三个正方形位置的摆放没有特殊性,如果思维停留在这种摆放模式,则很难找到突破口,但运用平移的特征,平移只改变图形的位置,并不改变图形的形状和大小,把三个正方形如图2所示放置,就会有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的变化。
解答:把红色正方形纸片平移到最左端,如图所示,设空白小正方形的边长为,根据题意得:,解得,从而大正方形的边长为5+2=7,故大正方形的面积是
说明:平移只改变图形的位置,并不改变图形的形状和大小,是集中或转移条件的重要方法。
 
例6. 如图,ABCD交于O,且∠AOC=60°,AB=CD=1。求证:AC+BD≥1。
      
分析:在平面几何的解题中,往往由于条件的隐蔽和分散,很难找到解题的途径,而恰当地运用轴对称、平移、旋转等几何变换,将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新位置上,条件得以相对集中,以便于各条件的综合与应用,从而达到变繁为简,化难为易,巧妙解题的目的。本题应将ACBDAB移到同一个三角形中,可采用平移变换。
解答:AB沿着AC方向平移线段AB的长度到CB',连结DB'、BB'。
ACBB',CB'//ABCB'=AB.
ABCD=1,
CB'=CD.
∵∠AOC=60°,
∴∠1=∠AOC=60°,
∴△CDB'是等边三角形,即DB'=1.
DBB'三点不共线时,在△DBB'中,BB'+BD>DB',即ACBD>1.
DBB'三点共线时,ACBD=1.
综上所述,ACBD≥1.
 
【小结】
1、能综合运用平行线的性质和判定证明和计算;
2、理解两条平行线间的距离的含义;
3、掌握命题的概念和命题的构成;
4、理解平移的定义,掌握平移的特征,能根据条件画出平移后的图形,应用平移知识解决几何问题和实际问题。
 
模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 选择题
1. 关于下列说法正确的个数有(     )
①△ABC在平移过程中,对应线段一定平行;
②△ABC在平移过程中,对应线段一定相等;
③△ABC在平移过程中,对应角一定相等;
④△ABC在平移过程中,图形大小不改变。
A. 1个                 B. 2个             C. 3个;             D. 4个
2. (2003. 吉林)如图,菱形花坛 ABCD的边长为 6 m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为(   )。
    A. 18m              B. 20m               C. 22m             D. 24m
 
3. (2006. 淄博)在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定距离,这样的图形变换为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首位依次相接的三角形,至少需要移动(     )
A. 12格            B. 11格           C. 9格              D. 8格
 
二. 填空题
4. 如图,已知长方形的长是2cm,宽是1cm,弧DF和弧BE的弧长相等,求阴影部分的面积是              
5. 如图,长方形内有两个相邻的正方形,边长分别为5和3,那么阴影部分的面积为    
6. 如图所示,求出此图形的周长是              
 
7. 写出下列命题的题设和结论:
(1)两条直线平行,同旁内角互补;
题设:                               
结论:                                 
(2)同角的补角相等;
题设:                               
结论:                                 
(3)三角形三内角的和等于
题设:                                
结论:                                 
 
三. 作图题
8. 如图,先将△ABC沿北偏西60°方向平移2.5cm,得△A1B1C1,再将△ABC沿南偏西60°方向平移2.5cm,得△A2B2C2,观察△A1B1C1、△A2B2C2,你能发现这两个三角形有什么关系吗?
 
四. 解答题
9. 如图所示,是小李家电视机的背景墙面上的装饰板,它是一块底色为蓝色的正方形板,边长18cm, 上面横竖各两道红条进行装饰,红条宽都是2cm,问蓝色部分板面面积是多少?
10. (本题中四个矩形的水平方向的边长均为,竖直方向的边长均为):
在图1中,将线段向右平移1个单位到,得到封闭图形(即阴影部分);在图2中,将折线向右平移1个单位到,得到封闭图形(即阴影部分).
      图1                        图2                        图3
(1)在图3中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;
(2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:S1=             ,S2=            ,S3=               
(3)联想与探索:
如图4,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的.
图4
11. 四边形ABCD中,DC//AB,∠D=2∠BCD=3,AD=2,求AB的长度.
 
 
 
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