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发布时间:2011-1-7 11:53:42 浏览次数:10013 浏览方式:  加入收藏 打印文档 关闭 
 

函数的定义域、值域

  [复习重点]系统梳理求函数定义域、值域的方法思路,典型问题类型,解题策略的形成。

  [复习难点]定义域概念的准确理解,值域问题的归类及方法选择。

  [范例分析]

  1已知函数y= 的定义域为R,求实数a的取值范围。

  解析:“函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量取值的最大范围,”依题设,xR,解析式有意义即“对任意xR都有ax2+4ax+30成立”换句话就是“方程ax2+4ax+3=0无实根成立,”分类讨论,当a=0时,30满足要求;当a0时,则有Δ=16a2-12a<0,即0<a< 时满足要求。综上:a[0, )

  评注:从概念出发去分析处理问题应是解题的最根本思路,此题解法思路就是依据“定义域”概念逐层等价翻译题干得出:原函数定义域为R,即等价于方程ax2+4ax+3=0无实根进而求解的。

  2已知f(x+1)的定义域为[-23),求函数f( +2)的定义域。

  解析:从概念出发,f(x+1)的定义域为[-23),即当x[-23)时,法则f有意义,即f适用于[-14)。求f( +2)的定义域,即求使f有意义时自变量x的取值范围,即求满足不等式-1 +2<4x的解集。  

  解:f(x+1)的定义域为[-23)可得f(x)的定义域为[-14),由-1 +2<4,解得x- x> ,  ∴ f( +2)的定义域为x(-,- ]( ,+).

  评注:抽象函数求定义域要抓住法则f有意义的范围不能扩大。

  3已知f(1-cosx)=sin2x, 则求f(x)=_________

  解: 1-cosx[0, 2], f(x)的定义域为[02]
  设
1-cosx=u, cosx=1-u,
  由
sin2x=1-cos2x=1-(1-u)2=-u2+2u,
  可得
f(u)=-u2+2u
  ∴
f(x)=-x2+2x  x[0, 2].

   评注:此处不可只关注解析式法则,还须考虑原始法则所限定的“f”有适用范围。

  小结:考虑定义域应是一种意识,因为我们一切问题的展开都建立在有意义的基础上。定义域的问题除上述几例外还有诸如从有实际意义背景的问题布列出的函数关系式,还需保持自变量的原始实际意义。

  4求下列函数的值域。
  
(1) y=2-   (2) y=   (3) y=sin2x-2cosx+1  (4) y=x-

  解:(1) 4x-x20解得 0x4,
  ∴
04x-x24, -2- 0,
  ∴
02- 2,即 y[0,2]
  
(2) y= = =1- ,
  ∵
x2-x+1=(x- )2+ ,
  ∴
0< ,
  ∴
- - <0,  - 1- <1.
  即原函数值域为
y[- ,1).
  
(3) y=sin2x-2cosx+1=1-cos2x-2cosx+1=-cos2x-2cosx+2=-(cosx+1)2+3
  ∵
cosx[-1,1],令cosx=u,则u[-1,1].
  函数
y=-(u+1)2+3[-1,1]上单调递减,
  ∴
y最大值=3y最小值=-1
  即原函数值域为
[-1,3].
  
(4)1-x20解得函数定义域为:x[-1,1],
  故可设
x=cosα (α∈[0,π]),
  原函数可化为:
y=cosα-sinα= cos(α+ ),
  ∵
α∈[0,π], α+ [ , π],
  由余弦函数
y=cosu的性质可知:
  当α
+ = 时,有ymax=1.
  当α
+ =π时,有ymin=- ,
  ∴
原函数的值域为:[- ,1]

  评注:函数的值域相对于函数的其它性质来说可谓最困难的问题之一,面对函数值域(最值)的问题要会对问题进行分类型、选方法,即养成一定分析处理该问题的策略。
  通常,面对一个问题,首先要冷静地观察分析:先考虑能否变形化简直接运用不等式的性质(如此处例
412)所用)来解决,或考虑该函数在定义域区间上的单调性加以运用;其次考虑联系我们熟知的几类基本函数,尝试将问题化归为基本函数类的问题,然后运用基本函数的思路能处理解答。(如此处例43)(4)所用方法)。需我们能熟练运用的几类基本函数主要有:10 y=ax2+bx+c (a0) x[m,n]20 y=Asin(ωx+φ) x[m,n] 30 y= , x[m,n]* 40 y=x+ , a为正常数,x[m,n],(注:函数y=x+ ,并非我们课本中给定,若需使用其单调性求值域必须附以对其在给定区间上单调性的证明。)其三再考虑我们在高一,高二学习过程中所涉及求值域、最值的方法。如:均值定理,反函数法,判别式法,还有数形结合思想等。

  5已知a, bR+, 3a+4b=12, ab最大值。

  解:法一,考虑化归为二次函数类问题)
  ∵
3a+4b=12,  b=3- a,
  ∴
ab=- a2+3a=- (a-2)2+3
  又由题设
a,bR+ , a(0,4)
  由二次函数性质可知
- (a-2)2+3在区间a(0, 4)上非单调,顶点纵坐标即y最大值。
  即
(ab)最大=3a=2b= 时取得。

  (法二,考虑运用三角换元化归为Asin(ωx+φ)类)
  ∵
a,bR+, 3a+4b=12,即 =1
  故可设 =cos2
α, =sin2α, α∈(0, ),
  ∴
a=4cos2α,  b=3sin2α,
  ∴
ab=12sin2α·cos2α=3sin22α,
  ∵
α∈(0, ), 2α∈(0,π),
  ∴
sin22α∈(0,1], (ab)max=3.
  当
2α= ,即α= ,即a=2b= 时取得该值。

  (法三,考虑运用均值定理解答)。
  ∵
a, bR+, 3a+4b=12,
  ∴
ab= ·3a·4b =3,
  当且仅当
3a=4b=6,即a=2b= 时不等式等号成立。
  即 当
a=2b= 时,(ab)max=3

  评注:平均值定理使用时,必须同时兼顾三个方面,10各项各因式均正,20求最值,放或缩都要到定值,30要考虑等号能否取到。

  6已知x, yR,满足(x-2)2+y2=3,求 的最值。

  解析:考虑运用数形结合思想,因为该题目所涉及内容有解析几何背景。

            

  解:依题,P(x, y)为以点C(2,0)为圆心,以 为半径的圆上任一点,求 的最值亦即求该点P与坐标原点O连线的斜率的最值。由图示可知当OP与⊙C相切时取到,由解三角形知识可得, ( )max= , ( )min=-

  当x= , y= 时取得。

  评注:数形结合方法的运用需要熟知一些代数式的几何意义和对一些问题的联想能力。如例4中(4)亦可用数形结合方法求解。

  由y=x- 可变为 =x-y

  令 =x-y=t, =x-y的意义可理解为两个函数,t= t=x-y有公共点的问题,此处t= 可看作定曲线,t=x-y可看作固定斜率的动直线,问当y取何值时,两曲线有交点,y的最大最小值?
              
  由图示可知, -y[-1, ], y[- ,1].

  巩固练习:

  1.求函数y=2x-3- 的值域。
  
2.求函数y=|x|· 的值域。
  
3.求函数f(n)= + +……+  (nN,n2)的最小值。
  
4.求函数y=  (x(0,+))的值域。

  答案:1. (-, )

  提示:可设 =u化归为二次函数类型加以解决,或直接考虑该函数在定义域(-, )上是个单调增函数。
  
2[0 ]提示:可三角换元令x=cosα, |x|· = 直接运用均值不等式。
  
3 提示:f(n+1)-f(n)>0可知该函数在定义域上单调增。
  
4[2 -1+]提示: =x+ -1,使用均值定理。

测试

  选择题
  1.函数 的定义域是R,则k的取值范围是( )。
  A、k≤0或k≥1  B、k≥1  C、0≤k≤1  D、0<k≤1

  2.若函数y=f(x+1)的定义域是[-23],则y=f(2x-1)的定义域是( )。
  A   B[-14]  C[-55]  D[-37]

  3.函数 的值域是( )。
  A
、(-∞-1)  B、(-∞1]
  CR        D[1+∞

  4.函数 的值域是( )。
  A
  B   C   DR

  5.设x>0,则函数 的最小值是( )。
  A   B   C   D

答案与解析  

  答案:1、C  2、A  3、B  4、B  5、B
  解析:
  1.答:C。
  解:k=0时,显然符合题意。
  k≠0,由k>0且Δ≤0得0<k≤1, ∴所求k范围是[0,1]。
  2.答:A。
  解:∵f(x+1)的定义域是[-2,3],∴-2≤x≤3,
  ∴ x+1∈[-1,4],即f(x)的定义域是[-1,4]。
  又∵ -1≤2x-1≤4,得 , ∴y=f(2x-1)的定义域为
  点评:函数f(x+1),f(x),f(2x-1)中的x并不是同1个量,当f(x)的定义域是[-1,4]时,f(x+1)和f(2x-1)分别是中间量(x+1)和(2x-1)的函数,f(2x-1)的定义域由中间变量2x-1∈[-1,4]求得。
  3.答:B。
  解:设 (t≥0 ),则
   ,∴当t=1时,y=1最大。
  ∵t≥0,∴y≤1,故选B。
  4.答:B。

  解:如图所示,令 ,则有
  问题转化为求椭圆上的点与原点连线的斜率 的最大值和最小值,显然直线y=kx与椭圆相切时k有最值,将y=kx代入椭圆,即(x-4)2+4(kx-3)2=4,也就是(4k2+1)x2-(8+24k)x+48=0,令Δ=(8+24k)2-4×48(4k2+1)=0,则有 ,即
  5.答B。
  解:∵ x>0,∴ x2>0,
  ∴ ,
  当且仅当 ,即 时,等号成立,故选B。

 
 
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